Question

9．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²+alnx（a∈R）
（1）若函数在点P（1，f（1）处的切线方程与直线x+2y+3=0垂直，求a的值．
（2）求函数的单调区间；
（3）记f′（x）为函数f（x）的导函数，若关于x的方程f′（x）-2e=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$（e为自然对数的底数）有且仅有两个不同的实根，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件可得a的方程，解得a=1，再由导数小于0，可得减区间；
（2）求出导数，对a讨论，分a≥0时，a＜0时，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；
（3）由题意可得a=$\frac{lnx}{x}$-x²+2ex有且只有两个不等的实根，根据函数g（x）=$\frac{lnx}{x}$-x²+2ex，求出g′（x），利用导数判断单调性求出极值、最值，运用函数y=g（x）与y=a交点判断即可．

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²+alnx的导数为f′（x）=x+$\frac{a}{x}$，x＞0，
函数在点P（1，f（1）处的切线斜率为k=1+a，
由切线与直线x+2y+3=0垂直，可得1+a=2，
解得a=1；
（2）函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²+alnx的导数为f′（x）=x+$\frac{a}{x}$，x＞0，
当a≥0时，f′（x）＞0，f（x）在x＞0上递增；
当a＜0时，f′（x）＞0，可得x＞$\sqrt{-a}$；f′（x）＜0，可得0＜x＜$\sqrt{-a}$．
则当a≥0时，f（x）的增区间为（0，+∞）；
a＜0时，f（x）的增区间为（$\sqrt{-a}$，+∞），减区间为（0，$\sqrt{-a}$）；
（3）f′（x）-2e=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，即为a=$\frac{lnx}{x}$-x²+2ex，
设g（x）=$\frac{lnx}{x}$-x²+2ex，
则g′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$-2（x-e），
当g′（x）＞0时，则0＜x＜e；当g′（x）＜0时，则x＞e．
当g′（x）=0时，则x=e，
∴g（x）=$\frac{lnx}{x}$-x²+2ex在（0，e）单调递增，在（e，+∞）单调递减，
x=e时g（x）最大值为g（e）=e²+$\frac{1}{e}$，
∵f′（x）-2e=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$有且只有两个不等的实根，
∴函数y=a与y=g（x）有2个交点，
根据图象可知：a＜e²+$\frac{1}{e}$，
故a的范围是（-∞，e²+$\frac{1}{e}$）．

点评 本题考查了函数的导数在求切线的斜率和函数最值，极值中的应用，函数零点转化为函数交点问题求解，属于中档题．