Question

4．已知实数a，b满足0≤a≤1，0≤b≤1，则函数y=$\frac{1}{3}$x³-ax²+bx+c有极值的概率（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 由函数有极值可得b＜a²，由定积分可求满足题意的区域面积，由几何概型的概率公式可得．

解答 解：对y=$\frac{1}{3}$x³-ax²+bx+c求导数可得y′=x²-2ax+b，
由函数有极值可得△=4a²-4b＞0，即b＜a²，
∴满足0≤a≤1，0≤b≤1的点（a，b）的区域为边长为1正方形，
∴满足0≤a≤1，0≤b≤1且b＜a²的点（a，b）的区域为正方形内曲线b=a²下方的部分，
由定积分可得S=${∫}_{0}^{1}{a}^{2}da$=$\frac{1}{3}$a³${|}_{0}^{1}$=$\frac{1}{3}$，而正方形的面积为1，
∴所求概率为P=$\frac{1}{3}$，
故选：B．

点评 本题考查几何概型的求解，涉及导数和积分的知识，属中档题．