Question

19．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2，$\frac{a+b}{sinC}$=$\frac{\sqrt{2}b-c}{sinB-sinA}$
（1）求角A的大小
（2）求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{a+b}{sinC}$=$\frac{\sqrt{2}b-c}{sinB-sinA}$，利用正弦定理可得：$\frac{a+b}{c}$=$\frac{\sqrt{2}b-c}{b-a}$，化简利用余弦定理即可得出．
（2）由余弦定理与基本不等式的性质可得：a²=b²+c²-2bccosA≥2bc-2bccosA，bc≤4+2$\sqrt{2}$，再利用S_△ABC=$\frac{1}{2}bc$sinA=$\frac{\sqrt{2}}{4}bc$即可得出．

解答 解：（1）∵$\frac{a+b}{sinC}$=$\frac{\sqrt{2}b-c}{sinB-sinA}$，利用正弦定理可得：$\frac{a+b}{c}$=$\frac{\sqrt{2}b-c}{b-a}$，化为：b²+c²-a²=$\sqrt{2}$bc．
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{\sqrt{2}bc}{2bc}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又A∈（0，π），∴$A=\frac{π}{4}$．
（2）由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA≥2bc-2bccosA，∴2²≥2bc-2bccos$\frac{π}{4}$，化为：bc≤4+2$\sqrt{2}$，当且仅当b=c=$\sqrt{4+2\sqrt{2}}$时取等号．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}bc$sinA=$\frac{\sqrt{2}}{4}bc$$≤\frac{\sqrt{2}}{4}×（4+2\sqrt{2}）$=$\sqrt{2}$+1．
∴△ABC的面积的最大值是$\sqrt{2}$+1．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．