Question

11．|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=1，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为60°，则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 由题意求出$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}）$及$|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}|$，然后代入数量积求夹角公式得答案．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=1，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为60°，
∴$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}）$=$|\overrightarrow{a}{|}^{2}+2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cos60°$=4+2×$2×1×\frac{1}{2}$=6，
$|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}|=\sqrt{（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}）^{2}}$=$\sqrt{|\overrightarrow{a}{|}^{2}+4|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cos60°+4|\overrightarrow{b}{|}^{2}}$
=$\sqrt{4+4×2×1×\frac{1}{2}+4}$=$2\sqrt{3}$．
设$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，则cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}）}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}|}$=$\frac{6}{2×2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴θ=$\frac{π}{6}$．
故答案为：$\frac{π}{6}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了由数量积求向量的夹角公式，是中档题．