Question

1．已知两定圆O₁：（x-1）²+（y-1）²=1，圆O₂：（x+5）²+（y+3）²=4，动圆P恒将两定圆的周长平分．试求动圆圆心P的轨迹方程．

Answer 1

分析 设动圆方程为：（x-a）²+（y-b）²=r²，可得动圆与定圆的公共弦过定圆的圆心，进而可得答案．

解答 解：设动圆方程为：（x-a）²+（y-b）²=r²，
与圆O₁，圆O₂的方程相减可得动圆与已知两圆的公共弦方程分别为：
（2-2a）x+（2-2b）y+a²+b²-r²-1=0和（10+2a）x+（6+2b）y-a²-b²+r²+30=0，
由动圆P恒将两定圆的周长平分．
故两条公共弦必过两圆圆心，从而有：
（2-2a）+（2-2b）+a²+b²-r²-1=0和-5（10+2a）-3（6+2b）-a²-b²+r²+30=0，
消去r²得：12a+8b+35=0．
故动圆圆心P的轨迹方程为12x+8y+35=0．

点评 本题考查轨迹方程，考查圆的标准方程，考查学生的计算能力，属于中档题．