Question

20．已知$C_n^0$+$2C_n^1$+${2^2}C_n^2$+…+${2^n}C_n^n$=729，则$C_n^1$++${C}_{n}^{2}$+$C_n^3$+…+${C}_{n}^{n}$的值等于63．

Answer 1

分析 根据已知条件结合二项式定理将${C}_{n}^{0}$+2C_n¹+2²C_n²+…+2ⁿC_nⁿ写成（a+b）ⁿ的形式，由此求出n的值后结合二项式系数性质公式求解即可．

解答 解：由二项式定理得（1+2）ⁿ=1•${C}_{n}^{0}$+2•C_n¹+2²C_n²+…+2ⁿC_nⁿ，
所以3ⁿ=729，
解得n=6，
所以C_n⁰+C_n¹+C_n²+…+C_nⁿ=2ⁿ=2⁶=64，
所以C_n¹+C_n²+C_n³+…+C_nⁿ=64-1=63．
故答案为：63．

点评 本题主要考查二项式定理展开式的逆用和二项式系数的性质公式问题，是基础题目．