Question

2．若（$\sqrt{x}$+$\frac{a}{{x}^{2}}$）⁶的展开式中x^-2的系数为15，则正实数a的值为1．

Answer 1

分析 在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于-1，求出r的值，再根据（$\sqrt{x}$+$\frac{a}{{x}^{2}}$）⁶的展开式中x^-2的系数为15，求得正实数a的值．

解答 解：（$\sqrt{x}$+$\frac{a}{{x}^{2}}$）⁶的展开式的通项公式为T_r+1=C₆^r•a^r•${x}^{3-\frac{5}{2}r}$，
令r=-2，可得3-$\frac{5}{2}$r=-2，∴r=2
∵（$\sqrt{x}$+$\frac{a}{{x}^{2}}$）⁶的展开式中x^-2的系数为15，
∴C₆²•a²=15，
∵a＞0，
∴a=1，
故答案为：1．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．