Question

3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别a，b，c，且满足cos$\frac{A}{2}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=4．
（1）求△ABC的面积；
（2）若a=3$\sqrt{2}$，求b，c的值．

Answer 1

分析 （1）由已知及二倍角的余弦函数公式可求cosA的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinA，利用已知及平面向量数量积的运算可得bccosA=4，解得bc=5，根据三角形面积公式即可得解．
（2）由已知及余弦定理得b+c=6，联立ab=5，即可得解b，c的值．

解答 解：（1）∵cos$\frac{A}{2}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴cosA=2cos²$\frac{A}{2}$-1=$\frac{4}{5}$，sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{3}{5}$，
∵$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=4．
∴bccosA=4，即$\frac{4}{5}$bc=4，解得：bc=5，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×5×\frac{3}{5}$=$\frac{3}{2}$．
（2）∵a=3$\sqrt{2}$，bc=5，cosA=$\frac{4}{5}$，
∴由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，可得：18=b²+c²-8=（b+c）²-2bc-8=（b+c）²-18，解得b+c=6，
∴由$\left\{\begin{array}{l}{bc=5}\\{b+c=6}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{c=5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{b=5}\\{c=1}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查了二倍角的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式，平面向量数量积的运算，三角形面积公式及余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．