Question

14．已知函数f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$[x²-2（2a-1）x+8]．
（1）若f（x）的定义域为R，求a的取值范围；
（2）若f（x）的值域为R，求a的取值范围；
（3）f（x）在[-1，+∞）上有意义，求a的取值范围；
（4）f（x）在[a，+∞]上为减函数，求a的取值范围；
（5）a=$\frac{3}{4}$时，y=f[sin（2x-$\frac{π}{3}$）]，x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]的值域．

Answer 1

分析 根据函数f（x）的解析式，（1）利用判别式△＜0求出f（x）的定义域为R；
（2）利用判别式△≥0求出f（x）的值域为R时a的取值范围；
（3）f（x）在[-1，+∞）上有意义时，得x=-1时x²-2（2a-1）x+8＞0，求出a的取值范围；
（4）f（x）在[a，+∞）上为减函数，得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-2（2a-1）a+8＞0}\\{2a-1≤a}\end{array}\right.$，解不等式组即可；
（5）a=$\frac{3}{4}$时求出f（x），再求出t=sin（2x-$\frac{π}{3}$）在x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]的取值范围，求f（t）的值域即可．

解答 解：∵函数f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$[x²-2（2a-1）x+8]，
（1）当f（x）的定义域为R时，
x²-2（2a-1）x+8＞0恒成立，
∴△=4（2a-1）²-4×8＜0，
解得-$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$＜a＜$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$；
（2）当f（x）的值域为R时，
△=4（2a-1）²-4×8≥0，
解得a≤-$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$或a≥$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$；
（3）当f（x）在[-1，+∞）上有意义时，
即x≥-1时，x²-2（2a-1）x+8＞0，
∴1+2（2a-1）+8＞0，
解得a＞-$\frac{7}{4}$；
（4）∵f（x）在[a，+∞）上为减函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-2（2a-1）a+8＞0}\\{2a-1≤a}\end{array}\right.$，
解得-$\frac{4}{3}$＜a≤1；
（5）当a=$\frac{3}{4}$时，f（x）=${log}_{\frac{1}{2}}$（x²-x+8），
设t=sin（2x-$\frac{π}{3}$），x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]，
则2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴t=sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
又$\frac{31}{4}$≤t²-t+8≤$\frac{35}{4}$，
∴${log}_{\frac{1}{2}}$35≤f（t）≤${log}_{\frac{1}{2}}$31，
即f（sin（2x-$\frac{π}{3}$））的值域是[${log}_{\frac{1}{2}}$35，${log}_{\frac{1}{2}}$31]．

点评 本题考查了对数函数的综合应用问题，也考查了换元法与判别式的应用问题，考查了转化思想的应用，是综合性题目．