Question

19．设f（x）=4^x+1+a•2^x+b（a，b∈R），若对于?x∈[0，1]，|f（x）|≤$\frac{1}{2}$都成立，则b=$\frac{17}{2}$．

Answer 1

分析 根据指数函数的性质，利用换元法转化为一元二次函数，利用一元二次不等式恒成立问题转化一元二次函数的最值进行求解即可．

解答 解：f（x）=4^x+1+a•2^x+b=4•（2^x）²+a•2^x+b，
设t=2^x，∵x∈[0，1]，∴t∈[1，2]，
则函数等价y=4t²+a•t+b，t∈[1，2]，
若于?x∈[0，1]，|f（x）|≤$\frac{1}{2}$都成立，
即于?t∈[1，2]，|4t²+a•t+b|≤$\frac{1}{2}$都成立，
即-$\frac{1}{2}$≤4t²+a•t+b≤$\frac{1}{2}$恒成立，
设g（t）=4t²+a•t+b，要使?a∈R，不等式恒成立，
则函数g（t）的对称轴t=$\frac{3}{2}$，即-$\frac{a}{2×4}$=$\frac{3}{2}$，即a=-12，
此时g（t）=4t²-12t+b，
则抛物线开口向上，
要使-$\frac{1}{2}$≤4t²+a•t+b≤$\frac{1}{2}$恒成立，
则函数g（t）_max$≤\frac{1}{2}$，且g（t）_min≥-$\frac{1}{2}$，
当t=1或2时，g（t）_max=g（1）=4-12+b=b-8≤$\frac{1}{2}$，即b≤$\frac{17}{2}$，
当t=$\frac{3}{2}$时，g（t）_min=g（$\frac{3}{2}$）=b-9≥-$\frac{1}{2}$，即b≥$\frac{17}{2}$，
即b=$\frac{17}{2}$，
故答案为：$\frac{17}{2}$．

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，根据指数函数的性质利用换元法转化为一元二次函数，利用一元二次函数的最值性质是解决本题的关键．