Question

8．如图，在平面直角坐标系中xOy中，以Ox轴的非负半轴为始边做两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A，B的横坐标分别为$\frac{\sqrt{2}}{10}$，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
（1）求cos，sinβ；
（2）若tanθ=cotβ，求$\frac{1}{3}$sinθcosθ+sin²θ+2的值．

Answer 1

分析 （1）在单位圆中，由已知点的横坐标求出纵坐标，利用三角函数的定义求得cosα，sinβ的值；
（2）由tanθ=cotβ求出tanθ，再把$\frac{1}{3}$sinθcosθ+sin²θ+2化弦为切得答案．

解答 解：（1）如图，在单位圆中，
∵A，B的横坐标分别为$\frac{\sqrt{2}}{10}$，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴A的纵坐标为$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{2}}{10}）^{2}}=\frac{7\sqrt{2}}{10}$，B的纵坐标为$\sqrt{1-（\frac{2\sqrt{5}}{5}）^{2}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴cos$α=\frac{\sqrt{2}}{10}$，sin$β=\frac{\sqrt{5}}{5}$；
（2）tan$β=\frac{\frac{\sqrt{5}}{5}}{\frac{2\sqrt{5}}{5}}=\frac{1}{2}$，tanθ=cotβ=$\frac{1}{tanβ}=2$，
∴$\frac{1}{3}$sinθcosθ+sin²θ+2=$\frac{1}{3}$sinθcosθ+3sin²θ+2cos²θ
=$\frac{\frac{1}{3}sinθcosθ+3si{n}^{2}θ+2co{s}^{2}θ}{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}$=$\frac{\frac{1}{3}tanθ+3ta{n}^{2}θ+2}{ta{n}^{2}θ+1}$
=$\frac{\frac{1}{3}×2+3×4+2}{4+1}=\frac{\frac{44}{3}}{5}=\frac{44}{15}$．

点评 本题考查任意角的三角函数的定义，考查了三角函数的化简求值，对于（2）的求解，灵活利用sin²θ+cos²θ=1是关键，是中档题．