Question

16．已知函数f（x）=2sin2xcosxsin（x+$\frac{π}{6}$）-cos2xsinx（$\sqrt{3}$sinx+cosx）
（1）求函数f（x）的最小正周期，
（2）求函数f（x）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]上的最值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，利用三角函数周期公式即可得解函数f（x）的最小正周期．
（2）由x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]，可得2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{2π}{3}$，0]，利用正弦函数的图象和性质可得sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[-1，0]，从而可求函数f（x）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]上的最值．

解答 解：（1）∵f（x）=2sin2xcosxsin（x+$\frac{π}{6}$）-cos2xsinx（$\sqrt{3}$sinx+cosx）
=sin2xcosx（$\sqrt{3}$sinx+cosx）-cos2xsinx（$\sqrt{3}$sinx+cosx）
=（$\sqrt{3}$sinx+cosx）（sin2xcosx-cos2xsinx）
=（$\sqrt{3}$sinx+cosx）sinx
=$\sqrt{3}$sin²x+cosxsinx
=$\sqrt{3}×$$\frac{1-cos2x}{2}$+$\frac{1}{2}$sin2x
=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=sin（2x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
（2）∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]，
∴2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{2π}{3}$，0]，
∴sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[-1，0]，
∴f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$∈[$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]．
故函数f（x）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]上的最小值为$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，最大值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数周期公式，正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于基础题．