Question

6．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）在一个周期内的部分对应值如下
（1）求f（x）的解析式；
（2）设函数h（x）=2f（x-$\frac{π}{12}$），x∈[$-\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，求h（x）的最大值和最小值．

x	$-\frac{π}{4}$	0	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{2}$	$\frac{3π}{4}$
f（x）	0	1	$\frac{1}{2}$	0	-1	0

Answer 1

分析 （1）根据条件确定函数的周期，求出ω 和φ的值即可得到结论．
（2）求出h（x）的解析式，根据三角函数的性质进行求解即可．

解答 解：（1）由函数的值可达函数的周期T=$\frac{3π}{4}$-（-$\frac{π}{4}$）=π，即$\frac{2π}{ω}$=π得ω=2，
即f（x）=sin（2x+φ），
当x=0时，函数取得最大值1，则x=0是函数的对称轴，
即sinφ=1，则φ=$\frac{π}{2}$+2kπ，
∵0＜φ＜π，∴k=0时，φ=$\frac{π}{2}$，
就f（x）=sin（2x+$\frac{π}{2}$）=cos2x．
（2）h（x）=2f（x-$\frac{π}{12}$）=2cos2（x-$\frac{π}{12}$）=2cos（2x-$\frac{π}{6}$），
∵x∈[$-\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，∴2x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，
2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，
则当2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{3}$时，函数h（x）取得最大值此时，h（x）=2cos$\frac{π}{3}$=2×$\frac{1}{2}$=1，
当2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{2}$时，函数h（x）取得最小值此时，h（x）=2cos（-$\frac{π}{2}$）=-2，
即h（x）的最大值为1，最小值为-2．

点评 本题主要考查函数解析式的求解，根据条件求出ω 和φ的值，求解函数的解析式，利用三角函数的性质是解决本题的关键．