Question

15．求下列函数的反函数，找出它们的定义域和值域．
（1）y=2+lg（x+1）；
（2）y=3+$\sqrt{x}$；
（3）y=$\frac{x-1}{x+1}$．

Answer 1

分析 （1）由对数式的真数大于0求出原函数的定义域，进一步求出原函数的值域，把原函数变形，化对数式为指数式，再把x，y互换求出原函数的反函数，得到反函数的定义域和值域；
（2）由根式内部的代数式大于等于0求出原函数的定义域，进一步求出原函数的值域，把原函数变形，求出x，再把x，y互换求出原函数的反函数，得到反函数的定义域和值域；
（3）由分式的分母不为0求出原函数的定义域，进一步求出原函数的值域，把原函数变形，求出x，再把x，y互换求出原函数的反函数，得到反函数的定义域和值域．

解答 解：（1）y=2+lg（x+1），
由x+1＞0，可得x＞-1，∴原函数的定义域为（-1，+∞），值域为R．
由y=2+lg（x+1），得lg（x+1）=y-2，化为指数式得，x+1=10^y-2，
x，y互换得：y=10^x-2-1，
此反函数的定义域为R，值域为（-1，+∞）；
（2）y=3+$\sqrt{x}$，
由x≥0，可得原函数的定义域为[0，+∞），值域为[3，+∞）．
由y=3+$\sqrt{x}$，得$\sqrt{x}=y-3$，x=（y-3）²，
x，y互换得：y=（x-3）²，
此反函数的定义域为[3，+∞），再由为[0，+∞）；
（3）y=$\frac{x-1}{x+1}$，
由x+1≠0，得x≠-1，∴原函数的定义域为{x|x≠-1}，
由y=$\frac{x-1}{x+1}$=$\frac{x+1-2}{x+1}=1-\frac{2}{x+1}$，∴原函数的值域为{y|y≠1}．
由y=$\frac{x-1}{x+1}$，得yx+y=x-1，即（1-y）x=1+y，∴x=$\frac{1+y}{1-y}$，
x与y互换得：$y=\frac{1+x}{1-x}$，
此反函数的定义域为{x|x≠1}，值域为{y|y≠-1}．

点评 本题考查函数的反函数的求法，考查函数的定义域及其值域的求法，明确函数的反函数的定义域是原函数的值域是关键，是中档题．