Question

14．“$\frac{|C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$≤a”是“曲线Ax+By+C=0与$\frac{x^2}{a}$+$\frac{y^2}{b}$=1（a＞b＞0）有公共点”的（　　）

• A． 充分不必要条件
• B． 必要不充分条件
• C． 充要条件
• D． 既不充分也不必要条件

Answer 1

分析 求出椭圆的中心到直线Ax+By+C=0的距离，由距离小于等于半长轴，不一定得到直线和椭圆有公共点，直线和椭圆有公共点，一定得到距离小于等于半长轴得答案．

解答 解：椭圆$\frac{x^2}{a}$+$\frac{y^2}{b}$=1（a＞b＞0）的中心O（0，0）到直线Ax+By+C=0的距离d=$\frac{|C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$，
由$\frac{|C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$≤a，不一定满足Ax+By+C=0与$\frac{x^2}{a}$+$\frac{y^2}{b}$=1（a＞b＞0）有公共点，
反之，若Ax+By+C=0与$\frac{x^2}{a}$+$\frac{y^2}{b}$=1（a＞b＞0）有公共点，则$\frac{|C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$≤a，
∴“$\frac{|C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$≤a”是“曲线Ax+By+C=0与$\frac{x^2}{a}$+$\frac{y^2}{b}$=1（a＞b＞0）有公共点”的必要不充分条件．
故选：B．

点评 本题考查点到直线距离公式的应用，考查了必要条件、充分条件以及充要条件的判断方法，是基础题．