Question

12．设$f（x）=2cosx（\sqrt{3}sinx-cosx）+2$．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，$BC=\sqrt{6}，sinC=2sinB$，若f（x）的最大值为f（A），求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1，由2k$π-\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z，即可解得f（x）的单调递增区间．
（Ⅱ）由题意可得2sin（2A-$\frac{π}{6}$）+1=3，解得A=k$π+\frac{π}{3}$，k∈Z，结合范围A∈（0，π），可得：A=$\frac{π}{3}$，又由已知及正弦定理可得c=2b，利用余弦定理即可解得b，c的值，根据三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：（Ⅰ）∵$f（x）=2cosx（\sqrt{3}sinx-cosx）+2$
=2$\sqrt{3}$sinxcosx-2cos²x+2
=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x+1
=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1，
∴由2k$π-\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z，解得f（x）的单调递增区间为：[kπ$-\frac{π}{6}$，k$π+\frac{π}{3}$]，k∈Z．
（Ⅱ）∵f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1的最大值为f（A），
∴f（A）=2sin（2A-$\frac{π}{6}$）+1=3，解得：2A-$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：A=k$π+\frac{π}{3}$，k∈Z．
∵A∈（0，π），可得：A=$\frac{π}{3}$，
∵$BC=\sqrt{6}，sinC=2sinB$，利用正弦定理可得：c=2b，
∴由余弦定理a²=c²+b²-2bccosA，可得：6=c${\;}^{2}+{b}^{2}-2bc×\frac{1}{2}$=4b²+b²-b×2b=3b²，解得：b=$\sqrt{2}$，c=2$\sqrt{2}$，
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．