Question

15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a²+b²=2a+6b-10，且c²=a²+b²+ab，则△ABC的面积为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． $\frac{3\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{4}$
• D． $\frac{3\sqrt{3}}{4}$

Answer 1

分析 由a²+b²=2a+6b-10，移项，配方可得（a-1）²+（b-3）²=0，解得：a=1，b=3，又c²=a²+b²+ab及余弦定理可得cosC=-$\frac{1}{2}$，结合C∈（0，π），可得sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，利用三角形面积公式即可得解．

解答 解：∵a²+b²=2a+6b-10，
∴（a-1）²+（b-3）²=0，解得：a=1，b=3，
又∵c²=a²+b²+ab，即：a²+b²-c²=-ab，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=-$\frac{1}{2}$，
∴结合C∈（0，π），可得：C=$\frac{2π}{3}$，sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×$1×3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
故选：D．

点评 本题主要考查了余弦定理，特殊角的三角函数值，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想和计算能力，属于中档题．