Question

8．已知数列{a_n}满足S_n=n-a_n．
（1）求证：数列{a_n-1}是等比数列；
（2）求a_n．

Answer 1

分析 （1）由已知可得S_n+1=n+1-a_n+1，和已知式子两式相减可得a_n+1=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$a_n，代入$\frac{{a}_{n+1}-1}{{a}_{n}-1}$化简可得；
（2）由S_n=n-a_n可得a₁，进而可得a₁-1，由等比数列的通项公式可得a_n-1，移项可得．

解答 （1）证明：∵数列{a_n}满足S_n=n-a_n．
∴S_n+1=n+1-a_n+1，两式相减可得
S_n+1-S_n=（n+1）-n-a_n+1+a_n，
∴a_n+1=1-a_n+1+a_n，∴a_n+1=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$a_n，
∴$\frac{{a}_{n+1}-1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}{a}_{n}-1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{\frac{1}{2}（{a}_{n}-1）}{{a}_{n}-1}$=$\frac{1}{2}$，
∴数列{a_n-1}是$\frac{1}{2}$为公比的等比数列；
（2）由（1）可得数列{a_n-1}是$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
由S_n=n-a_n可得a₁=S₁=1-a₁，解得a₁=$\frac{1}{2}$，故a₁-1=-$\frac{1}{2}$，
∴a_n-1=-$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2}$）^n-1=（$\frac{1}{2}$）ⁿ，∴a_n=1+（$\frac{1}{2}$）ⁿ．

点评 本题考查等比数列的证明和数列的递推公式，属中档题．