Question

17．若函数f（x）=4sin（ωx+φ）对任意的x都有f（${\frac{π}{3}$+x）=f（-x），则f（$\frac{π}{6}}$）=（　　）

• A． 0
• B． -4或0
• C． 4或0
• D． -4或4

Answer 1

分析 由题意可得f（x+$\frac{2π}{3}$）=f（x），故函数f（x）的周期为$\frac{2π}{3}$，求得ω=3．在条件$f（\frac{π}{3}+x）=f（-x）$中，令x=0，求得sinφ=0，从而求得f（$\frac{π}{6}$）的值．

解答 解：∵函数f（x）=4sin（ωx+φ）对任意的x都有$f（\frac{π}{3}+x）=f（-x）$，
∴f（x+$\frac{2π}{3}$）=f（x），故函数f（x）的周期为$\frac{2π}{3}$，故$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{3}$，∴ω=3，
∴f（x）=4sin（3x+φ）．
在$f（\frac{π}{3}+x）=f（-x）$中，令x=0，可得f（$\frac{π}{3}$）=f（0），
即4sin（π+φ）=4sinφ，即-4sinφ=4sinφ，∴sinφ=0，
则$f（\frac{π}{6}）$=4sin（$\frac{π}{2}$+φ）=4cosφ=±4，
故选：D．

点评 本题主要考查正弦函数的周期性，诱导公式，属于中档题．