Question

19．一批产品共10件，其中3件是不合格品，用下列两种不同方式从中随机抽取2件产品检验：
方式一：一次性随机抽取2件；
方式二：先随机抽取1件，放回后再随机抽取1件；
记抽取的不合格产品数为ξ．
（1）分别求两种抽取方式下ξ的概率分布；
（2）比较两种抽取方式抽到的不合格品平均数的大小？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）方式一中随机变量ξ可取的值为0，1，2，且ξ服从超几何分布ξ～H（2，3，10），计算对应的概率；列出频率分布表；方式二中随机变量ξ可取的值为0，1，2，且ξ服从二项分布ξ～B（2，$\frac{3}{10}$），计算对应的概率；列出频率分布表；
（2）计算方式一与方式二中的数学期望（平均数），比较结果即可．

解答 解：（1）方式一中随机变量ξ可取的值为0，1，2，且ξ服从超几何分布，ξ～H（2，3，10），
于是P（ξ=0）=$\frac{{C}_{3}^{0}{•C}_{7}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{7}{15}$；P（ξ=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{•C}_{7}^{1}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{7}{15}$；P（ξ=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}{•C}_{7}^{0}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{1}{15}$；
因此ξ的频率分布可表示为下表：

ξ	0	1	2
P	$\frac{7}{15}$	$\frac{7}{15}$	$\frac{1}{15}$

方式二中随机变量ξ可取的值为0，1，2，且ξ服从二项分布，ξ～B（2，$\frac{3}{10}$），于是P（ξ=0）=${C}_{2}^{0}$•${（\frac{3}{10}）}^{0}$•${（\frac{7}{10}）}^{2}$=$\frac{49}{100}$；P（ξ=1）=${C}_{2}^{1}$•$\frac{3}{10}$•$\frac{7}{10}$=$\frac{21}{50}$；P（ξ=2）=${C}_{2}^{2}$•${（\frac{3}{10}）}^{2}$•${（\frac{7}{10}）}^{0}$；
因此ξ的频率分布可表示为下表：

ξ	0	1	2
P	$\frac{49}{100}$	$\frac{21}{50}$	$\frac{9}{100}$

（2）由（1）知，方式一中ξ的数学期望（平均数）为E（ξ）=0×$\frac{7}{15}$+1×$\frac{7}{15}$+2×$\frac{1}{15}$=$\frac{3}{5}$，
方式二中ξ的数学期望（平均数）为E（ξ）=2×$\frac{3}{10}$=$\frac{3}{5}$，
所以，两种方式抽到的不合格品平均数相等．

点评 本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的应用问题，是中档题目．