Question

2．已知p：?x∈R，不等式x²-mx+$\frac{3}{2}$＞0恒成立，q：椭圆$\frac{{x}^{2}}{m-1}$+$\frac{{y}^{2}}{3-m}$=1的焦点在x轴上，若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 分别判断出p，q为真时的m的范围，通过讨论p，q的真假，得到关于m的不等式组，取并集即可．

解答 解：∵p：?x∈R，不等式x²-mx+$\frac{3}{2}$＞0恒成立，
∴△=m²-6＜0，解得：-$\sqrt{6}$＜m＜$\sqrt{6}$；
q：椭圆$\frac{{x}^{2}}{m-1}$+$\frac{{y}^{2}}{3-m}$=1的焦点在x轴上，
∴m-1＞3-m＞0，解得：2＜m＜3，
若“p或q”为真，“p且q”为假，
则：p，q一真一假，
p真q假时：$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{6}＜m＜\sqrt{6}}\\{m≥3或m≤2}\end{array}\right.$，解得：-$\sqrt{6}$＜m＜2，
p假q真时：$\left\{\begin{array}{l}{m≥\sqrt{6}或m≤-\sqrt{6}}\\{2＜m＜3}\end{array}\right.$，解得：$\sqrt{6}$≤m＜3，
故m的范围是（-$\sqrt{6}$，2）∪[$\sqrt{6}$，3）．

点评 本题考查了复合命题的真假，考查不等式恒成立问题，考查椭圆问题，是一道基础题．