Question

17．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中$A＞0，ω＞0，0＜φ＜\frac{π}{2}$）的最小正周期为π，且图象上的一个最高点为$M（\frac{π}{6}，3）$．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若$x∈[{0，\frac{π}{4}}]$，求f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）由周期可得ω，再由图象上的一个最高点为$M（\frac{π}{6}，3）$，可得A与φ，则函数解析式可求；
（2）利用x的范围求得相位的范围，则f（x）的最大值可求．

解答 解：（1）∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）的最小正周期为π，
∴$\frac{2π}{ω}=π$，得ω=2，
又图象上的一个最高点为$M（\frac{π}{6}，3）$，
可得A=3，且3sin（2×$\frac{π}{6}$+φ）=3，
即$\frac{π}{3}+$φ=$\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$，
由0＜φ$＜\frac{π}{2}$，得φ=$\frac{π}{6}$．
∴$f（x）=3sin（2x+\frac{π}{6}）$；
（2）∵$x∈[{0，\frac{π}{4}}]$，∴$2x+\frac{π}{6}∈$[$\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}$]，
∴f（x）_max=3．

点评 本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数解析式，训练了三角函数最值的求法，是中档题．