Question

6．设函数f（x）=-x²+2x+a（0≤x≤3，a≠0）的最大值为m，最小值为n．
（1）求m，n的值（用a表示）；
（2）若角θ的终边经过点P（m-1，n+3），求$\frac{{2sin（θ-π）+sin（\frac{3π}{2}+θ）}}{{cos（-θ）+cos（\frac{5π}{2}-θ）}}$的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用二次函数的性质，求得m、n的值．
（2）由条件利用任意角的三角函数的定义求得tanα的值，再同角三角函数的基本关系，求得所给式子的值．

解答 解：（1）根据函数f（x）=-x²+2x+a（0≤x≤3，a≠0），
可得f（x）=-（x-1）²+1+a，而0≤x≤3，
∴m=f（1）=1+a，n=f（3）=-3+a．
（2）由（1）知角θ的终边经过点P（a，a），∴tanθ=1，所以cosθ≠0，
原式=$\frac{-2sinθ-cosθ}{cosθ+sinθ}$=$\frac{-2tanθ-1}{1+tanθ}=-\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查二次函数的性质，任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，属于基础题．