Question

1．已知f（x）=|x|-1，关于x的方程f²（x）-|f（x）|+k=0，则下列四个结论错误的是（　　）

• A． 存在实数k，使方程恰有2个不同的实根
• B． 存在实数k，使方程恰有3个不同的实根
• C． 存在实数k，使方程恰有5个不同的实根
• D． 存在实数k，使方程恰有8个不同的实根

Answer 1

分析 化简f（x）=|x|-1≥-1，再令f（x）=t，从而化方程f²（x）-|f（x）|+k=0为k=|t|-t²，从而作函数k=|t|-t²的图象，结合图象分类讨论解得．

解答 解：∵f（x）=|x|-1≥-1，
∴当a=-1时，f（x）=a有且只有一个解，
当a＞-1时，f（x）=a有两个不同的解，
∵令f（x）=t，则方程f²（x）-|f（x）|+k=0可化为k=|t|-t²，
作函数k=|t|-t²的图象如下，
，
结合图象可知，
当k=$\frac{1}{4}$时，k=|t|-t²有两个不同的解，且t=±$\frac{1}{2}$，
故方程方程f²（x）-|f（x）|+k=0有四个不同的解，
当0＜k＜$\frac{1}{4}$时，k=|t|-t²有4个不同的解，且-1＜t＜1，
故方程方程f²（x）-|f（x）|+k=0有8个不同的解；
当k=0时，k=|t|-t²有三个不同的解，分别为-1，0，1；
故方程方程f²（x）-|f（x）|+k=0有5个不同的解，
当k＜0时，k=|t|-t²有两个不同的解，且t＜-1或t＞1，
故方程方程f²（x）-|f（x）|+k=0有2个不同的解；
故选B．

点评 本题考查了分类讨论与数形结合的思想应用，同时考查了函数的零点与方程的根的关系应用．