Question

设函数f（x）=lg（x²+ax-a-1），给出如下命题：
①函数f（x）必有最小值；
②若a=0时，则函数f（x）的值域是R；
③若a＞0，且f（x）的定义域为[2，+∞），则函数f（x）有反函数；
④若函数f（x）在区间[2，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是[-4，+∞）．
其中正确的命题序号是

 

．（将你认为正确的命题序号都填上）

Answer 1

分析：对于复合函数f（x）=lg（x²+ax-a-1），通常分解成两个简单函数加以讨论，一是：y=lgu；另一个是：u=x²+ax-a-1；欲求函数f（x）的最小值、值域、有没有反函数及单调性，只要看u有没有最小值、值域、有没有反函数、单调性即可，即利用复合函数的性质去研究原函数的性质．

解答：解：令u=x²+ax-a-1=（x+

a

2

）²-

a2

4

-a-1≥-

a2

4

-a-1．
又u＞0，故u没有最小值，所以①错误；
当a=0时，u=x²-1∈[-1，+∞），
而（0，+∞）⊆[-1，+∞），所以②正确；
当a＞0时，u=x²+ax-a-1的对称轴为x=-

a

2

＜0，[2，+∞）为单调递增区间，
当x∈[2，+∞）时，f（x）有反函数，所以③正确；
对于④应有

- a 2 ≤2 22+2a-a-1＞0

?a＞-3，
所以④错误，综上所述，只有②③正确．

点评：本题主要考查了复合函数的单调性、反函数及对数函数的性质，属于中档题．