Question

已知圆C：x²＋(y－1)²＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0，且直线l与圆C交于A、B两点．
(1)若|AB|＝，求直线l的倾斜角；
(2)若点P(1,1)满足2＝，求此时直线l的方程．

Answer 1

（1）或.        （2）x－y＝0或x＋y－2＝0.

(1)由圆C：x²＋(y－1)²＝5，得圆的半径r＝，
又|AB|＝，故弦心距d＝＝.
再由点到直线的距离公式可得d＝，
∴＝，解得m＝±.
即直线l的斜率等于±，故直线l的倾斜角等于或.
(2)设A(x₁，mx₁－m＋1)，B(x₂，mx₂－m＋1)，由题意2＝可得2(1－x₁，－mx₁＋m)＝(x₂－1，mx₂－m)，
∴2－2x₁＝x₂－1，即2x₁＋x₂＝3.①
再把直线方程y－1＝m(x－1)代入圆C：x²＋(y－1)²＝5，化简可得(1＋m²)x²－2m²x＋m²－5＝0，由根与系数关系可得x₁＋x₂＝.②
由①②解得x₁＝，故点A的坐标为(，)．
把点A的坐标代入圆C的方程可得m²＝1，即m＝±1，故直线l的方程为x－y＝0或x＋y－2＝0.