Question

已知函数f(x)=a-

2

2x+1

，g(x)=

1

f(x)-a

．
（1）若函数f（x）为奇函数，求a的值；
（2）若g（2x）-a•g（x）=0，有唯一实数解，求a的取值范围；
（3）若a=2，则是否存在实数m，n（m＜n＜0），使得函数y=f（x）的定义域和值域都为[m，n]．若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵f（x）为奇函数
∴f（-x）=-f（x）∴f（0）=0
∴a=1（2分）
（2）∵g(x)=

1

f(x)-a

=-

2x+1

2

（1分）
∴g(2x)-ag(x)=-

22x+1

2

+a×

2x+1

2

=0（1分）
令t=2^x＞0，则问题转化为方程t²-at+1-a=0在（0，+∞）上有唯一解．（1分）
令h（t）=t²-at+1-a，则h（0）≤0
∴a≥1（2分）
（3）法一：不存在实数m、n满足题意．（1分）
f(x)=2-

2

2x+1

∵y=2^x在R上是增函数∴f（x）在R上是增函数（2分）
假设存在实数m、n（m＜n＜0）满足题意，有

2- 2 2m+1 =m…(1) 2- 2 2n+1 =n…(2)

（2分）
∵m＜0∴0＜2^m＜1
∴0＜2-

2

2m+1

＜1
∴（1）式左边＞0，右边＜0，故（1）式无解．
同理（2）式无解．
故不存在实数m、n满足题意．（2分）
法二：不存在实数m、n满足题意．（1分）
易知f(x)=2-

2

2x+1

∵y=2^x在R上是增函数∴f（x）在R上是增函数（2分）
假设存在实数m、n（m＜n＜0）满足题意，有

f(m)=m f(n)=n

即m、n是方程f（x）=x的两个不等负根．（1分）
由2-

2

2x+1

=x得2x+1=-

2

x-2

令h（x）=2^x+1，g(x)=-

2

x-2

（1分）
∵函数g（x）在（-∞，0]上为单调递增函数
∴当x＜0时，g（x）＜g（0）=1
而h（x）＞1，∴h（x）＞g（x）
∴方程2x+1=-

2

x-2

在（-∞，0）上无解
故不存在实数m、n满足题意．（2分）