Question

20．证明下列不等式：
（1）设a，b，c∈R^*，且满足条件a+b+c=1，证明：$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$≥9
（2）已知a≥0，证明：$\sqrt{a+3}+\sqrt{a}$＜$\sqrt{a+2}+\sqrt{a+1}$．

Answer 1

分析 （1）依题意，可得$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$=（a+b+c）（$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$）=3+（$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$）+（$\frac{c}{a}$+$\frac{a}{c}$）+（$\frac{c}{b}+\frac{b}{c}$），利用基本不等式即可证得结论；
（2）利用分析法证明即可．

解答 证明：（1）∵a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=1，
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$=（a+b+c）（$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$）=3+（$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$）+（$\frac{c}{a}$+$\frac{a}{c}$）+（$\frac{c}{b}+\frac{b}{c}$）≥3+2+2+2=9（当且仅当a=b=c时取“=”）（证毕）．
（2）要证明$\sqrt{a+3}+\sqrt{a}$＜$\sqrt{a+2}+\sqrt{a+1}$，
只要证明（$\sqrt{a+3}+\sqrt{a}$）²＜（$\sqrt{a+2}+\sqrt{a+1}$）²，
只要证明a（a+3）＜（a+2）（a+1），
只要证明0＜2，显然成立，
故原不等式成立

点评 本题考查不等式的证明，着重考查分析法、基本不等式的应用，注意等号成立的条件，考查推理论证能力，属于中档题．