Question

12．设命题p：函数f（x）=lg（-mx²+2x-m）的定义域为R；
命题q：函数g（x）=4lnx+$\frac{1}{2}{x^2}$-（m-1）x的图象上任意一点处的切线斜率恒大于2，
若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 若命题p∧q为假，p∨q为真，命题p，q一真一假，进而可得满足条件的m的取值范围．

解答 （本小题满分10分）
解：若p为真命题，则-mx²+2x-m＞0恒成立，即mx²-2x+m＜0恒成立．…（1分）
当m=0时，不等式为-2x＜0，解得x＞0，显然不成立；
当m≠0时，$\left\{\begin{array}{l}m＜0\\△={（-2）^2}-4m×m＜0\end{array}\right.$，解得m＜-1．
∴若p为真命题，则m＜-1．…（4分）
若q为真命题，则当x＞-1时，$g'（x）=\frac{4}{x}+x-m+1＞2$，$m＜\frac{4}{x}+x-1$，
∵$\frac{4}{x}+x-1≥2\sqrt{4}-1=3$，当且仅当x=1时取等号，∴m＜3．…（6分）
∵“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，∴p真q假或p假q真．…（8分）
若p真q假，则$\left\{\begin{array}{l}m＜-1\\ m≥3\end{array}\right.$，∴m∈∅；若p假q真，则$\left\{\begin{array}{l}m≥-1\\ m＜3\end{array}\right.$，∴-1≤m＜3．
综上所述，实数m得取值范围为m∈[-1，3）．…（10分）

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，对数函数的图象和性质，直线斜率等知识点，难度中档．