Question

7．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且2S_n=1-a_n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设${b_n}={log_{\frac{1}{3}}}{a_n}$，C_n=$\frac{{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}}{{\sqrt{b_nb_{n+1}}}}$，记数列{C_n}的前n项和T_n，求证：T_n＜1．

Answer 1

分析 （1）由${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}}&{n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}}&{n≥2}\end{array}\right.$，可得数列{a_n}的递推关系，从而可判断该数列为等比数列，得解；
（2）由${c}_{n}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}$，用裂项相消法易求．

解答 解：（1）当n=1时，由2S₁=1-a₁得：${a_1}=\frac{1}{3}$．           
由2S_n=1-a_n①
∴2S_n-1=1-a_n-1 （n≥2）②
上面两式相减，得：${a_n}=\frac{1}{3}{a_{n-1}}$．（n≥2）
∴数列{a_n}是首项为$\frac{1}{3}$，公比为$\frac{1}{3}$的等比数列．
∴${a_n}=\frac{1}{3^n}（n∈{N^*}）$．
（2）∵${a_n}=\frac{1}{3^n}（n∈{N^*}）$，
∴${b_n}={log_{\frac{1}{3}}}{a_n}={log_{\frac{1}{3}}}{（\frac{1}{3}）^n}$=n．  
∴$C_n=\frac{{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}}{{\sqrt{n（n+1）}}}=\frac{1}{{\sqrt{n}}}-\frac{1}{{\sqrt{n+1}}}$，
$\begin{array}{l}{∴T}_n=C_1+C_2+…+C_n\\=（1-\frac{1}{{\sqrt{2}}}）+（\frac{1}{{\sqrt{2}}}-\frac{1}{{\sqrt{3}}}）+（\frac{1}{{\sqrt{3}}}-\frac{1}{{\sqrt{4}}}）+…+（\frac{1}{{\sqrt{n}}}-\frac{1}{{\sqrt{n+1}}}）=1-\frac{1}{{\sqrt{n+1}}}\end{array}$，
∵n∈N^*，
∴${T_n}=1-\frac{1}{{\sqrt{n+1}}}$＜1．

点评 本题考查数列的递推式和数列的求和方法．第一问解题关键在于公式${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}}&{n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}}&{n≥2}\end{array}\right.$的运用，考查了转化的思想方法．第二问考查数列求和，根据通项公式的结构特点裂项求和是解题关键．属于中档题．