Question

19．下列命题中：
①在△ABC中，sinA＞sinB，则A＞B；
②若a＞0，b＞0，a+b=4，则$\sqrt{a+3}+\sqrt{b+2}$的最大值为3$\sqrt{2}$；
③已知函数f（x）是一次函数，若数列{a_n}的通项公式为a_n=f（n），则该数列是等差数列；
④数列{b_n}的通项公式为b_n=qⁿ，则数列{b_n}的前n项和S_n=$\frac{{q（1-{q^n}）}}{1-q}$．
正确的命题的序号是①②③．

Answer 1

分析 逐项判断．①利用正弦定理易得；②先平方在利用基本不等式即可；③由等差数列的函数特征易得；④易知当q=1时，结论不正确．

解答 解：
①由正弦定理，当sinA＞sinB时，由 a＞b，故有A＞B，所以①为真；
②$（\sqrt{a+3}+\sqrt{b+2}）^{2}=9+2\sqrt{（a+3）（b+2）}$≤9+（a+3）+（b+2）=18，所以$\sqrt{a+3}+\sqrt{b+2}≤3\sqrt{2}$“=”当且仅当“$a=\frac{3}{2}，b=\frac{5}{2}$”成立，故②为真；
③由等差数列的通项公式的函数特征知③正确；
④易知，当q=1时结论不正确．
总上可得①②③正确．
故答案为：①②③．

点评 本题考查了正弦定理，基本不等式，等差数列的通项以及等比数列的前n项和问题．其中第2个命题的判断是本题难点．属于中档题．