Question

4．连江一中第49届田径运动会提出了“我运动、我阳光、我健康、我快乐”的口号，某同学要设计一张如图所示的竖向张贴的长方形海报进行宣传，要求版心面积为162dm²（版心是指图中的长方形阴影部分，dm为长度单位分米），上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm．
（1）若设版心的高为xdm，求海报四周空白面积关于x的函数S（x）的解析式；
（2）要使海报四周空白面积最小，版心的高和宽该如何设计？

Answer 1

分析 （1）由已知版心的高为xdm，则版心的宽为$\frac{162}{x}$dm，求出海报四周空白面积．
（2）利用基本不等式求解即可．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）由已知版心的高为xdm，则版心的宽为$\frac{162}{x}$dm…（1分）
故海报四周空白面积为 $S（x）=（x+4）（\frac{162}{x}+2）-162$，…（4分）
即S（x）=2x+$\frac{648}{x}$+8，x＞0…（6分）
（2）由基本不等式得：$S（x）=2x+\frac{648}{x}+8≥2\sqrt{2x•\frac{648}{x}}+8=80$…（9分）
当且仅当$2x=\frac{648}{x}即x=18$时取等号 …（11分）
∴要使海报四周空白面积最小，版心的高应该为18 dm、宽为9 dm…（12分）

点评 本题考查实际问题选择函数的模型，基本不等式的应用，考查计算能力．