Question

11．已知函数f（x）=x（1-a|x|）+1（a＞0），若f（x+a）≤f（x）对任意的x∈R恒成立，则实数a的取值范围是[$\sqrt{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 依题意，f由（x+a）≤f（x）对任意的x∈R恒成立，在同一坐标系中作出满足题意的y=f（x+a）与y=f（x）的图象，可得x（1+ax）+1≥（x+a）[1-a（x+a）]+1恒成立，整理后为二次不等式，利用△≤0即可求得实数a的取值范围．

解答 解：∵f（x）=x（1-a|x|）+1=$\left\{\begin{array}{l}{x（1+ax）+1，x＜0}\\{x（1-ax）+1，x≥0}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}{{a（x+\frac{1}{2a}）}^{2}+1-\frac{1}{4a}，x＜0}\\{-{a（x-\frac{1}{2a}）}^{2}+1+\frac{1}{4a}，x≥0}\end{array}\right.$（a＞0），
∴f（x+a）=（x+a）（1-a|x+a|）+1，
∵f（x+a）≤f（x）对任意的x∈R恒成立，
在同一坐标系中作出满足题意的y=f（x+a）与y=f（x）的图象如下：

∴x（1+ax）+1≥（x+a）[1-a（x+a）]+1恒成立，
即x+ax²+1≥-a（x²+2ax+a²）+x+a+1，
整理得：2x²+2ax+a²-1≥0恒成立，
∴△=4a²-4×2（a²-1）≤0，
解得：a≥$\sqrt{2}$．
故答案为：[$\sqrt{2}$，+∞）．

点评 本题考查函数恒成立问题，深刻理解f（x+a）≤f（x）对任意的x∈R恒成立，得到x（1+ax）+1≥（x+a）[1-a（x+a）]+1恒成立是解决问题的关键，也是难点，考查作图、分析与运算能力，属于难题．