Question

12．命题p：若对任意的x∈[1，2]，不等式x²-ax+1＞0恒成立；
命题q：函数f（x）=$\frac{x+a}{x-1}$在（1，+∞）上单调递减．若命题p∧q为假．
求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 先求出命题p和命题q为真时，实数a的取值范围，进而可得命题p∧q为假时，实数a的取值范围．

解答 解：$p：a＜x+\frac{1}{x}$
∵${（x+\frac{1}{x}）_{min}}=2∴a＜2$…（3分）
$q：f（x）=\frac{x+a}{x-1}=1+\frac{a+1}{x-1}$
∵f（x）在（1，+∞）上单调递减
∴a+1＞0
即：∴a＞-1…（6分）
当p∧q为真命题时，
$\left\{\begin{array}{l}a＜2\\ a＞-1\end{array}\right.$
∴-1＜a＜2…（10分）
∴当p∧q为假命题时a≥2或a≤-1…（12分）

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，恒成立问题，反比例型函数的单调性，难度中档．