Question

19．已知动直线l₀：ax+by+c-2=0（a＞0，c＞0）恒过点P（1，m）且Q（4，0）到动直线l₀的最大距离为3，则$\frac{1}{2a}$+$\frac{2}{c}$的最小值为（　　）

• A． $\frac{9}{2}$
• B． $\frac{9}{4}$
• C． 1
• D． 9

Answer 1

分析 由题意可得：可得a+bm+c-2=0．又Q（4，0）到动直线l₀的最大距离为3，可得$\sqrt{（4-1）^{2}+{m}^{2}}$=3，解得m=0．a+c=2．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

解答 解：动直线l₀：ax+by+c-2=0（a＞0，c＞0）恒过点P（1，m），∴a+bm+c-2=0．
又Q（4，0）到动直线l₀的最大距离为3，
∴$\sqrt{（4-1）^{2}+{m}^{2}}$=3，解得m=0．
∴a+c=2．
则$\frac{1}{2a}$+$\frac{2}{c}$=$\frac{1}{2}$（a+c）$（\frac{1}{2a}+\frac{2}{c}）$=$\frac{1}{2}（\frac{5}{2}+\frac{c}{2a}+\frac{2a}{c}）$≥$\frac{1}{2}$$（\frac{5}{2}+2\sqrt{\frac{c}{2a}•\frac{2a}{c}}）$=$\frac{9}{4}$，当且仅当c=2a=$\frac{4}{3}$时取等号．
故选：B．

点评 本题考查了直线方程、点到直线的距离公式、两点之间的距离公式、基本不等式的性质，考查了推理能力 与计算能力，属于中档题．