Question

9．已知l为双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线，l与圆（x-c）²+y²=a²（其中c²=a²+b²）相交于A，B两点，若|AB|=a，则C离心率为$\frac{\sqrt{7}}{2}$．

Answer 1

分析 求出双曲线的渐近线方程，圆的圆心与半径，利用体积推出ab关系式，然后求解离心率即可．

解答 解：由题意可知双曲线的一条渐近线方程为：bx+ay=0，
圆（x-c）²+y²=a²的圆心（c，0），半径为：a，
l为双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线，l与圆（x-c）²+y²=a²（其中c²=a²+b²）相交于A，B两点，若|AB|=a，
可得$（{\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}）}^{2}+（\frac{a}{2}）^{2}={a}^{2}$，可得4b²=3a²，
可得4（c²-a²）=3a²，
解得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{7}}{2}$．

点评 本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．