Question

20．设变量x，y满足不等式$\left\{{\begin{array}{l}{x+y-1≤0}\\{2x+y+2≥0}\\{x≤0}\end{array}}\right.$，且目标函数z=ax-by（a＞0，b＞0）的最小值为$-2\sqrt{3}$，则log₂a+log₂b的最大值为-2．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得3a+4b=2$\sqrt{3}$，利用基本不等式求出ab的最大值，则log₂a+log₂b的最大值可求．

解答 解：由约束条件$\left\{{\begin{array}{l}{x+y-1≤0}\\{2x+y+2≥0}\\{x≤0}\end{array}}\right.$作出可行域如图，

联立$\left\{\begin{array}{l}{x+y-1=0}\\{2x+y+2=0}\end{array}\right.$，解得A（-3，4）．
化目标函数z=ax-by为y=$\frac{a}{b}x-\frac{z}{b}$，
由图可知，当直线y=$\frac{a}{b}x-\frac{z}{b}$过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为-3a-4b=-2$\sqrt{3}$．
∴3a+4b=2$\sqrt{3}$．
则2$\sqrt{3}=3a+4b≥2\sqrt{12ab}=4\sqrt{3ab}$，∴ab$≤\frac{1}{4}$，当且解得3a=4b时取“=”．
∴log₂a+log₂b=$lo{g}_{2}ab≤lo{g}_{2}\frac{1}{4}=-2$
故答案为：-2．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．