Question

11．已知△ABC中，BC=2，AC=2AB，则△ABC面积的最大值为$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 设AB=x，则AC=2x，根据面积公式得S_△ABC=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$x，由余弦定理求得 cosC代入化简 S_△ABC=$\sqrt{\frac{16}{9}-\frac{9（{x}^{2}-\frac{20}{9}）^{2}}{16}}$，由三角形三边关系求得$\frac{2}{3}$＜x＜2，由二次函数的性质求得S_△ABC取得最大值．

解答 解：依题意，设AB=x，则AC=2x，又BC=2，
根据面积公式得S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•BC•sinB=sinBx=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$x．
由余弦定理得：cosB=$\frac{{x}^{2}+{2}^{2}-（2x）^{2}}{2×2×x}$=$\frac{4-3{x}^{2}}{4x}$，
∴S_△ABC=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$x=$\sqrt{1-（\frac{4-3{x}^{2}}{4x}）^{2}}$x=$\sqrt{\frac{16}{9}-\frac{9（{x}^{2}-\frac{20}{9}）^{2}}{16}}$
由三角形三边关系有：x+2x＞2且x+2＞2x，解得：$\frac{2}{3}$＜x＜2，
故当 x=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$时，S_△ABC取得最大值$\frac{4}{3}$．
故答案为：$\frac{4}{3}$．

点评 本题主要考查了余弦定理和面积公式在解三角形中的应用．当涉及最值问题时，可考虑用函数的单调性和定义域等问题，考查了转化思想，属于中档题．