Question

1．如图，在四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点M为PD的中点，点N是为棱CB上一点，且$\overrightarrow{BN}=λ\overrightarrow{BC}，λ∈（{0，1}）$．
（Ⅰ）判断直线MN能否垂直于直线AD，若能，确定N点的位置，若不能，请说明理由；
（Ⅱ）若直线MN⊥BC，求二面角M-AN-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）如图以点A为原点，AB，AD，AP分别为x、y、z轴建立坐标系A-xyz．假设直线MN能否垂直于直线AD，则$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{AD}=0$，即（λ+1）×0+（2λ-1）×2+（-1）×0=0
解得λ，即可判断直线MN能否垂直于直线AD，
（Ⅱ）由直线MN⊥BC，求得λ，求出面MNA的法向量，面ANC的法向量，利用向量夹角公式求面角M-AN-C的余弦值为

解答 解：如图以点A为原点，AB，AD，AP分别为x、y、z轴建立坐标系A-xyz．
 A（0，0，0），B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），
（Ⅰ）∵点M为PD的中点，∴M（0，1，1），
∴$\overrightarrow{MA}=（0，-1，-1）$，$\overrightarrow{AB}=（1，0，0）$，$\overrightarrow{BN}=λ\overrightarrow{BC}=（λ，2λ，0）$，
$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}=（λ+1，2λ-1，-1）$，
假设直线MN能否垂直于直线AD，则$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{AD}=0$，即（λ+1）×0+（2λ-1）×2+（-1）×0=0
解得$λ=\frac{1}{2}$．∴直线MN能垂直于直线AD，此时N点是BC中点．
（Ⅱ）直线MN⊥BC，即$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{BC}=（λ+1）×1+（2λ-1）×2+（-1）×$0=0
解得λ=$\frac{1}{5}$
则$\overrightarrow{MN}=（\frac{6}{5}．-\frac{3}{5}，-1）$，设面MNA的法向量为$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{MN}=\frac{6}{5}x-\frac{3}{5}y-z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{MA}=-y-z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{m}=（1，-3，3）$．
面ANC的法向量为$\overrightarrow{AP}=（0，0，2）$，
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{AP}＞$=$\frac{3\sqrt{19}}{19}$．
∵面角M-AN-C是锐角．∴面角M-AN-C的余弦值为$\frac{3\sqrt{19}}{19}$．
                                                                                                                                             

点评 本题考查了空间向量在处理动点问题、空间角问题中的应用．属于中档题．