Question

6．函数f（x）=$\sqrt{3}$sinωxcosωx+cos²ωx（ω＞0）（ω＞0）在区间[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]的值域是[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]，则常数ω所有可能的值的个数是（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 利用二倍角和辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，将内层函数看作整体，求出其范围，根据值域是[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]，建立关系，讨论常数ω所有可能的值．

解答 解：函数f（x）=$\sqrt{3}$sinωxcosωx+cos²ωx，
化简可得：f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2ωx+\frac{1}{2}cos2ωx+\frac{1}{2}$=sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）$+\frac{1}{2}$，
∵x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，f（x）∈[$-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]，
∴-1≤sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）≤0，
则$\frac{T}{4}≤\frac{π}{3}-\frac{π}{6}≤\frac{T}{2}$，
而T=$\frac{2π}{2ω}=\frac{π}{ω}$，
那么：$\frac{π}{4ω}≤\frac{π}{6}≤\frac{π}{2ω}$，即$\frac{3}{2}≤ω≤3$．
sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）=0的结果必然是$x=\frac{π}{6}$或$\frac{π}{3}$．
当$x=\frac{π}{6}$时，解得ω=$\frac{5}{2}$满足题意．
当x=$\frac{π}{3}$时，解得ω=$\frac{11}{4}$满足题意．
∴常数ω所有可能的值的个数为2．
故选C：

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．