Question

18．下列四个命题：
①“a²+b²=0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0”，则a²+b²≠0”；
②已知曲线C的方程是kx²+（4-k）y²=1（k∈R），曲线C是椭圆的充要条件是0＜k＜4；
③“$m=\frac{1}{2}$”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直”的充分不必要条件；
④已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的一条渐近线经过点（1，2），则该双曲线的离心率的值为$\sqrt{5}$．
上述命题中真命题的序号为③④．

Answer 1

分析 ①，“a²+b²=0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b不全为0”，则a²+b²≠0”；
②，曲线kx²+（4-k）y²=1（k∈R）是椭圆的充要条件是0＜k＜4且k≠2；
③，当直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直时，$m=\frac{1}{2}$或-2；
④，当双曲线的渐近线经过点（1，2）时，则点（1，2）在渐近线y=$\frac{b}{a}x$上，故$\frac{b}{a}=2$，可得双曲线的离心率；

解答 解：对于①，“a²+b²=0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b不全为0”，则a²+b²≠0”，故错；
对于②，已知曲线C的方程是kx²+（4-k）y²=1（k∈R），曲线C是椭圆的充要条件是0＜k＜4且k≠2，故错；
对于③，∵当直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直时，$m=\frac{1}{2}$或-2，故正确；
对于④，当双曲线的渐近线经过点（1，2）时，则点（1，2）在渐近线y=$\frac{b}{a}x$上，故$\frac{b}{a}=2$，则该双曲线的离心率的值为$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{5}$．故正确；
故答案为：③④

点评 本题考查了命题真假的判定，属于基础题．