Question

14．已知边长为a的正方形ABCD外有一点P，且PA⊥平面ABCD，PA=a，求二面角B-PA-C和P-BC-A的大小．

Answer 1

分析 由已知条件推导出BC⊥平面PAB，从而得到二面角B-PA-C的大小就是∠BAC，二面角P-BC-A的平面角为∠PBA，由此能求出二面角P-BC-A的大小．

解答 解：∵边长为a的正方形ABCD外有一点P，∵PA⊥AB，PA=AB，∴∠PBA=45°，
连接AC，PA⊥平面ABCD，可得AB⊥PA，
PA⊥AC，二面角B-PA-C即为∠BAC即为所求的角，为45°．
∵边长为a的正方形ABCD外有一点P，且PA⊥平面ABCD，
PA=a，又∵ABCD为正方形，∴AB⊥BC，
∵PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，
∵PA?平面PAB，∴BC⊥PA，
又CD⊥BC，
∴二面角P-BC-A的平面角即为∠PBA即为所求的角，为45°．
二面角B-PA-C和P-BC-A的大小都是45°．

点评 本题考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要注意是思维能力的培养．