Question

19．设函数f（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{x}$，证明：
（I）当x＜0时，f（x）＜1；
（II）对任意a＞0，当0＜|x|＜ln（1+a）时，|f（x）-1|＜a．

Answer 1

分析 （Ⅰ）原不等式等价于xf（x）-x＞0，构造函数，利用导数和函数的最值得关系即可证明，
（Ⅱ）当0＜x＜ln（1+a）时，f（x）-1＜a，等价于e^x-1-（a+1）x＜0，构造函数，利用导数和函数的最值得关系即可证明，同理可证-ln（1+a）＜x＜0，问题得以证明

解答 解：（Ⅰ）∵当x＜0时，f（x）＜1，等价于xf（x）＞x，即xf（x）-x＞0，
设g（x）=xf（x）-x=e^x-1-x
∴g′（x）=e^x-1＜0，在（-∞，0）上恒成立，
∴g（x）在（-∞，0）上单调递减，
∴g（x）＞g（0）=1-1-0=0，
∴xf（x）-x＞0恒成立，
∴x＜0时，f（x）＜1，
（Ⅱ）要证明当0＜|x|＜ln（1+a）时，|f（x）-1|＜a，
即证0＜x＜ln（1+a）时，f（x）-1＜a，
即证$\frac{{e}^{x}-1}{x}$＜a+1，
即证e^x-1＜（a+1）x
即证e^x-1-（a+1）x＜0，
令h（x）=e^x-1-（a+1）x，
∴h′（x）=e^x-（a+1）＜e^ln（a+1）-（a+1）=0，
∴h（x）单调递减，
∴h（x）＜h（0）=0，
同理可证当x＜0时，结论成立
∴对任意a＞0，当0＜|x|＜ln（1+a）时，|f（x）-1|＜a

点评 本题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的最值是解决本题的关键，考查学生的计算能力．