Question

7．等差数列{a_n}是非常数列，a₄=10且a₃，a₆，a₁₀成等比数列，
（1）求数列{a_n}的通项公式，
（2）若${b_n}={2^n}{a_n}$，求数列{b_n}的前n项和s_n．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法，根据a₄=10且a₃，a₆，a₁₀成等比数列，建立方程组，可求首项与公差，从而可得数列{a_n}的通项公式；
（2）先利用错位相减法求出数列{b_n}的前n项和为S_n．

解答 解：（1）：设数列{a_n}的公差为d（d≠0），由已知得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{4}=10}\\{{a}_{6}^{2}={a}_{3}{a}_{10}}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+3d=10}\\{（{a}_{1}+5d）^{2}=（{a}_{1}+2d）（{a}_{1}+9d）}\end{array}\right.$，
解得a₁=7，d=1，
∴a_n=7+（n-1）=n+6，
（2）${b_n}={2^n}{a_n}$=（n+6）2ⁿ，
∴S_n=7×2¹+8×2²+9×2³+…+（n+6）2ⁿ，
2S_n=7×2²+8×2³+9×2⁴+…+（n+5）2ⁿ+（n+6）2ⁿ⁺¹，
∴-S_n=12+2¹+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ-（n+6）2ⁿ⁺¹=12+$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-（n+6）2ⁿ⁺¹=10-（n+5）×2ⁿ⁺¹，
∴S_n=（n+5）×2ⁿ⁺¹-10．

点评 本题考查等差数列与等比数列的综合，考查数列的通项与求和，正确求数列的通项与求和是关键．