Question

11．若函数f（x）=$\frac{sinx+a}{cosx}$在区间（0，$\frac{π}{2}$）上单调递增，则实数a的取值范围是（　　）

• A． a≤-1
• B． a≤2
• C． a≥-1
• D． a≤1

Answer 1

分析 利用导函数研究原函数的单调性，利用单调性求解实数a的取值范围．

解答 解：函数f（x）=$\frac{sinx+a}{cosx}$
则f′（x）=$\frac{cosx•cosx+sinx（sinx+a）}{co{s}^{2}x}$
∵x∈（0，$\frac{π}{2}$）上，
∴cos²x＞0
要使函数f（x）=$\frac{sinx+a}{cosx}$在区间（0，$\frac{π}{2}$）上单调递增，
∴cos²x+sin²x+asinx＞0在x∈（0，$\frac{π}{2}$）上恒成立，
即：asinx+1＞0在x∈（0，$\frac{π}{2}$）上恒成立，
∵x∈（0，$\frac{π}{2}$）上，
sinx∈（0，1）
∴a≥-1
故选C．

点评 本题考查了利用导函数研究原函数的单调性问题，利用单调性求解取值范围的问题．属于基础题．