Question

15．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_m-1=-4，S_m=0，S_m+2=14（m≥2，且m∈N^*）
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足$\frac{{a}_{n}}{2}$=log₂b_n（n∈N⁺），求数列{（a_n+6）•b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （I）计算a_m，a_m+1+a_m+2，利用等差数列的性质计算公差d，再代入求和公式计算m；
（II）求出a_n，b_n，得出数列{（a_n+6）•b_n}的通项公式，利用错位相减法计算．

解答 解：（Ⅰ）∵S_m-1=-4，S_m=0，S_m+2=14，
∴a_m=S_m-S_m-1=4，a_m+1+a_m+2=S_m+2-S_m=14，
设数列{a_n}的公差为d，则2a_m+3d=14，
∴d=2．
∵S_m=$\frac{{a}_{1}+{a}_{m}}{2}$×m=0，∴a₁=-a_m=-4，
∴a_m=-4+2（m-1）=4，
解得m=5．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=-4+2（n-1）=2n-6，
∴n-3=log₂b_n，即b_n=2^n-3．
∴（a_n+6）•b_n=2n•2^n-3=n•2^n-2．
设数列{（a_n+6）•b_n}的前n项和为T_n，
∴T_n=1×$\frac{1}{2}$+2×1+3×2+…+…n•2^n-2，①
∴2T_n=1×1+2×2+3×2²+…+n•2^n-1，②
①-②，得-T_n=$\frac{1}{2}$+1+2+…+2^n-2-n•2^n-1
=$\frac{\frac{1}{2}（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2^n-1
=（1-n）•2^n-1-$\frac{1}{2}$．
∴T_n=（n-1）•2^n-1+$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了等差数列，等比数列的性质，数列求和，属于中档题．