Question

10．已知数列{a_n}，{b_n}，若b₁=0，a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$，当n≥2时，有b_n=b_n-1+a_n-1，则b₂₀₁₇=$\frac{2016}{2017}$．

Answer 1

分析 由已知可得a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，结合b_n=b_n-1+a_n-1，利用累加法求得b₂₀₁₇ ．

解答 解：∵a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，且b_n=b_n-1+a_n-1，
∴b_n-b_n-1=a_n-1（n≥2），
则${b}_{2}-{b}_{1}={a}_{1}=1-\frac{1}{2}$，
${b}_{3}-{b}_{2}={a}_{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，
…
${b}_{2017}-{b}_{2016}={a}_{2016}=\frac{1}{2016}-\frac{1}{2017}$．
∴${b}_{2017}-{b}_{1}=1-\frac{1}{2017}=\frac{2016}{2017}$，
又b₁=0，
∴b₂₀₁₇=$\frac{2016}{2017}$．
故答案为：$\frac{2016}{2017}$．

点评 本题考查数列递推式，训练了利用累加法求数列的通项公式，是中档题．