Question

甲、乙、丙三人分别独立解一道数学题，已知甲做对这道题的概率是

3

4

，甲、丙两人都做错的概率是

1

12

，乙、丙两人都做对的概率是

1

4

．
（1）求乙、丙两人各自做对这道题的概率；
（2）求做对该题人数随机变量ξ的分布列和Eξ．

Answer 1

分析：本题考查的知识点有：等可能事件的概率，离散型随机变量及其分布列、期望与方差，是一道相对综合的概率问题，
（1）我们根据甲做对这道题的概率是

3

4

，甲、丙两人都做错的概率是

1

12

，乙、丙两人都做对的概率是

1

4

．不难构造方程组，求出乙和丙做对该题的概率．
（2）根据（1）的结论，根据分布列及数学期望的计算公式，易得到最终结果．

解答：解：记甲、乙、丙三人独立做对这道题的事件依次为A、B、C，
则由已知条件得：P（A）=

3

4

又∵P（

.

A

•

.

C

）=[1-P（A）][1-P（C）]=

1

12

，∴P（C）=

2

3

又∵P（B•C）=P（B）•P（C）=

1

4

，∴P（B）=

3

8

乙、丙三人各自做对这道题的概率分别为

3

8

，

2

3

（2）随机变量ξ的可能值为0，1，2，3，则
P（ξ=0）=P（

.

A

）P（

.

B

）P（

.

C

）=

1

4

×

5

8

×

1

3

=

5

96

P（ξ=1）=P（A）P（

.

B

）P（

.

C

）+P（

.

A

）P（B）P（

.

C

）+P（

.

A

）P（

.

B

）P（C）=

7

24

P（ξ=2）=P（A）P（B）P（

.

C

）+P（

.

A

）P（B）P（C）+P（A）P（

.

B

）P（C）=

15

32

P（ξ=3）=P（A）P（B）P（C）=

3

16

∴ξ的分布列为：

∴Eξ=0×

5

96

+1×

7

24

+2×

15

32

+3×

3

16

=

24

43

点评：若A事件发生的概率为P（A），B事件发生的概率为P（B），则
①A，B同时发生的概率为P（A）P（B）；
②A，B同时不发生的概率为P（

.

A

）P（

.

B

）；
③A不发生B发生的概率为P（

.

A

）P（B）；
④A发生B不发生的概率为P（A）P（

.

B

）；