Question

8．四棱锥P-ABCD底面为梯形，AB∥DC，DC=3AB，若$\overrightarrow{PE}$=λ$\overrightarrow{ED}$（λ＞0），AE∥平面PBC，则λ=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 过E作EF∥CD交PC于F，连结BF，AE．则EF∥AB，由线面平行的性质得AE∥BF，故而四边形ABFE是平行四边形，AB=EF，利用平行线等分线段成比例定理列比例式得出λ．

解答 解：过E作EF∥CD交PC于F，连结BF，AE．
∵AB∥CD，∴EF∥AB．
∵AE∥平面PBC，AE?平面ABFE，平面PAB∩平面ABFE=BF，
∴AE∥BF．
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴AB=EF．
∵$\overrightarrow{PE}$=λ$\overrightarrow{ED}$，∴$\frac{PE}{PD}=\frac{λ}{λ+1}$，
∵EF∥CD，∴$\frac{PE}{PD}=\frac{EF}{CD}=\frac{AB}{CD}=\frac{1}{3}$，即$\frac{λ}{λ+1}$=$\frac{1}{3}$，解得$λ=\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了线面平行的性质，向量数乘运算的意义，属于中档题．