Question

【题目】设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f（x+1）=f（x﹣1），已知当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1 ， 有以下结论：
①2是函数f（x）的一个周期；
②函数f（x）在（1，2）上单调递减，在（2，3）上单调递增；
③函数f（x）的最大值为1，最小值为0；
④当x∈（3，4）时，f（x）=23﹣x ．
其中，正确结论的序号是 ． （请写出所有正确结论的序号）

Answer 1

【答案】①②④
【解析】解：①∵对任意的x∈R恒有f（x+1）=﹣f（x），
∴f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x），即2是f（x）的周期，①正确
②∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=（ ）1﹣x，
∴函数f（x）在（0，1）上是增函数，函数f（x）在（1，2）上是减函数，在（2，3）上是增函数，故②正确；
函数f（x）的最大值是f（1）=1，最小值为f（0）= ，故③不正确；
设x∈[3，4]，则4﹣x∈[0，1]，f（4﹣x）=（ ）x﹣3=f（﹣x）=f（x），故④正确．
所以答案是：①②④．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数奇偶性的性质的相关知识，掌握在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇．